Köklü Sayılar

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...

Tanım: n ≥ 2 doğal sayı olmak üzere,
\({a^n} = b \Rightarrow a = \sqrt[n]{b}\)
denklemini sağlayana reel sayısına, b reel sayısının, n. dereceden kökü denir. Tüm köklü sayılar, üslü sayılar biçiminde yazılabilir.
\(a = \sqrt[n]{{{b^1}}} \Rightarrow a = {b^{\frac{1}{n}}}\)
Buna göre;
\(a = \sqrt[n]{{{b^m}}} \Rightarrow a = {b^{\frac{m}{n}}}\)
Not:
\(\sqrt[n]{b}\) ifadesinde;
n=2 ise \(\sqrt[2]{a} = \sqrt a \) ifadesine karekök denir.
n=3 ise \(\sqrt[3]{a}\) ifadesine küpkök denir.
Köklü Sayıların Özellikleri
* Köklü sayılar, üslü sayıların bütün özelliklerini taşır.
* Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için;
i) Köklerin dereceleri eşit
ii) Köklerin içindeki ifadelerinin eşit ve benzer olması gerekli ve yeterli şarttır. Köklü ifadeler bu özelliklere sahip değilse toplama ve çıkarma işlemi yapılamaz.
\(a\sqrt[m]{b} \mp c\sqrt[m]{b} = (a \mp c)\sqrt[m]{b}\)
Not:
\(\sqrt[m]{{{a^n}}}\) köklü ifadesinde m=2 ise yazılmaz ve 2 varmış gibi işlem yapılır.
Not:
\(\begin{gathered}
\sqrt {a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b \hfill \\
\sqrt {a – b} \ne \sqrt a – \sqrt b \hfill \\
\end{gathered} \)
Köklü sayılarda çarpma ve bölme işlemleri yapılabilmesi için kök derecelerinin eşit olması yeterlidir.
kok1
Rasyonel Üssün Sadeleştirilmesi – Genişletilmesi
kok2
Not:
* \(\sqrt[m]{a}\) ifadesinde m çift sayı ise a ≥ 0 olmalıdır.
* Karekökün reel sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
\(\sqrt a \) ise, a≥0 da tanımlıdır.
Kök içindeki çarpanı Kök Dışına Çıkarmak
a) Kök derecesi 2 ise; kök içindeki ifadenin tam kare olan çarpanları dikkate alınır. Bunun için verilen sayı, asal çarpanlara ayrılır. Aynı olan asal çarpanlar ikişerli olarak gruplandırılırlar.
kok3
b) Kök derecesi 3 ise; kök içindeki ifadenin tam küp olan çarpanları dikkate alınır, verilen sayı asal çarpanlara ayrılır. Aynı olan asal çarpanlar üçerli gruplandırılır.
kok4
c) Kök derecesi n ise; verilen sayı asal çarpanlara ayrılır. Aynı olan asal çarpanlardan kuvvetleri (n) olanlar dikkate alınır.
kok5
kok6
Kök Dışındaki Çarpanı Kök içine Almak
\(a\sqrt[a]{b} = \sqrt[n]{{{a^n}b}}\)
Kök dışındaki çarpanın üssü kök kuvveti ile çarpılarak içeri alınır.
kok7
Eşlenik ifadeler
Köklü sayıların bölme işleminde paydayı kökten kurtarmak için paydanın eşleniği ile kesir çarpılır.
kok8
Örnek:
\(\frac{7}{{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{3}}}\) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Bu tip ifadelerin paydalarını kökten kurtarmak için, pay ve paydanın hangi ifade ile çarpılacağının bilinmesi, dolayısıyla aşağıdaki eşitliklerin göz önüne alınması gerekecektir.
kok9
kok10
Köklü Tam Kare ifadeler
x > y olmak üzere;
kok11
kok12
Not: Bu tür ifadede aradaki işaret negatif ise büyük çarpanın karekökünden küçük çarpanın karekökü çıkarılır.
Not:
\(\sqrt[m]{{{a^x}\sqrt[n]{{{a^y}\sqrt[p]{{{a^z}}}}}}} = \sqrt[{mnp}]{{{a^{(xn + y)p + z}}}}\)
kok13
Sonsuz Köklü İfadeler
kok14
 
a ardışık iki tamsayının çarpımı ise;
\(\sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + …} } }  = \) Büyük ardışık çarpan
\(\sqrt {a – \sqrt {a – \sqrt {a – …} } }  = \) Küçük ardışık çarpan
Bir Kökün Kuvveti
\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[m]{{{a^m}}}\)
Köklü ifadelerde Sıralama:
a) Kök dereceleri eşit olan ifadeler, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralanır.
kok15
 
b) Kök dereceleri farklı ise önce kök dereceleri eşitlenir, sonra yukarıdaki kurala göre hareket edilir.

Köklü Sayılar YAPILAN YORUMLAR