Basit Eşitsizlikler

Eşitsizlik, eşit olmanın karşıtı (zıttı) dır. x ≠ y ise x ve y den birisi diğerinden küçüktür.
Eşitsizliğin Özellikleri:
x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,
1. a = b, a < b , a > b önermelerinden yalnız biri doğrudur.
2. Eşitsizliklerin geçişme özelliği vardır.
(x < a ve a < y) ⇒ x < y,
(x > a ve a > y) ⇒ x > y dir.
3. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
x < y ⇔ x±a < y±a,
x > y ⇔ x ± a > y ± a dır.
4.  a) Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.
x < y ⇔ x.a < y.a,   (a > 0)
x > y ⇔ x:a > y:a   (a > 0)
b) Bir eşitsizliğin her iki yanı aynı negatif sayıyla çarpılırsa veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
x < y ⇔ x. a > y.a,    (a < 0)
x >y ⇔ x: a < y:a      (a < 0)
5. a) x. y < 0 ise, x ile y ters işaretlidir.
b) x . y > 0 ise, x ile y aynı işaretlidir.
6. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilirler fakat çıkarılamaz, carpılamaz ve bölünemezler.
* a, b, c, d ∈ R olmak üzere, a < x < b ve c < y < d ise, x.y çarpımı; a.c , a.d , b.c , b.d çarpımlarının en küçüğünden büyük, en büyüğünden de küçüktür.
7. n pozitif bir tam sayı olmak üzere,
x < y ⇔ x^2n-1 < y^2n-1
0 < x < y ⇒ 0 < xⁿ < yⁿ
x < y < 0 ⇒ x²ⁿ > y²ⁿ > 0
8. a) 0 ile 1 arasındaki sayıların üssü büyüdükçe, sayının değeri küçülür.
0< x < 1 ⇒ 0 < … < xⁿ < … <x² < x < 1 < x^-1 < x^-2 < …
b ) n∈ Z⁺– { 1 } olmak üzere,
(- 1 < x < 0 veya x > 1) ise xⁿ > x tir.

c) n ∈ Z⁺ olmak üzere,
x < – 1 => x²ⁿ⁺¹ < x < 0 < x²ⁿ
9.  x < y < z ⇔ (x < y ve y < z)
x > y > z ⇔ x > (y ve y > z) dir.
10. Aynı işaretli sayılar arasındaki sıralama ile bu sayıların çarpmaya göre tersleri arasındaki sıralama birbirinin zıttıdır.
x . y > 0 olmak üzere,
\(x < y \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{1}{y}\)
11. Ters işaretli sayılar arasındaki sıralama ile bu sayıların çarpmaya göre tersleri arasındaki sıralama birbirinin aynısıdır.
x . y < 0 olmak üzere,
\(x < y \Leftrightarrow \frac{1}{x} < \frac{1}{y}\)