TÜREV

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşittir.

Türevin geometrik yorumu için bu etkileşimli animasyona bakabilirsiniz.

a reel sayısını bulunduran bir I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için,


bir reel sayıysa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve bu değer f’nin a noktasındakitürevidir. f fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta türevlenebilirse, bu türev değerlerinin oluşturduğu fonksiyona f’nin türev fonksiyonu denir ve f’ ile gösterilir.

Türev tanımını, görsel olarak inceleyip daha iyi kavramak için, bu etkileşimli animasyona bakmanızı öneririz.

Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, fonksiyon o noktada süreklidir. Fakat tersi doğru olmayabilir. Örneğin; sıfır noktasını uç nokta olmayacak biçimde dahil eden bir aralıkta mutlak değer fonksiyonu, sıfır noktasında türevlenemez, fakat sıfır noktasında süreklidir.

TÜREV ALMA KURALLARI

KUVVET KURALI

a sabit bir reel sayı olmak üzere, tanım kümesi negatif olmayan reel sayılar olan f(x) = xaşeklindeki fonksiyonların türevi,


şeklindedir.

GENEL KURALLAR

1) Homojenlik kuralı: a sabit bir reel sayı ve f reel sayılar kümesinden reel sayılar kümesine bir fonksiyon olsun.


2) Toplam kuralı: f ve g reel sayılar kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyon olsun.


3) Çarpım kuralı: f ve g reel sayılar kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyon olsun.


4) Bölüm kuralı: f ve g reel sayılar kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyon olsun.


Not: Bölüm kuralı, yalnızca g(x)’in sıfıra eşit olmadığı yerlerde geçerlidir.

5) Zincir kuralı: f ve g reel sayılar kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyon olsun.


TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

1) Sinüs fonksiyonunun türevi:


2) Kosinüs fonksiyonunun türevi:


3) Tanjant fonksiyonunun türevi:


4) Kotanjant fonksiyonunun türevi:


5) Sekant fonksiyonunun türevi:


6) Kosekant fonksiyonunun türevi:


TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

1) Arksinüs fonksiyonunun türevi:


Not: Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arksinüsün görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, [kπ/2 , (k+2)π/2] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

2) Arkkosinüs fonksiyonunun türevi:


Not: Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arkkosinüsün görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, [kπ , (k+1)π] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

3) Arktanjant fonksiyonunun türevi:


4) Arkkotanjant fonksiyonunun türevi:


5) Arksekant fonksiyonunun türevi:


Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksekantın görüntü kümesine göre değişir. Arksekantın görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, (kπ , (k+1/2)π) ∪ ((k+1/2)π , (k+1)π) kümesidir. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

6) Arkkosekant fonksiyonunun türevi:


Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosekantın görüntü kümesine göre değişir. Arkkosekantın görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, (kπ/2 , (k+1)π/2) ∪ ((k+1)π/2 , (k+2)π/2) kümesidir. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

KUVVET FONKSİYONUNUN TÜREVİ

Üstel fonksiyonun türevi:


LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ


KAPALI FORMDAKİ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

F(x,y) = 0 formundaki fonksiyonlara kapalı formda fonksiyon veya kapalı fonksiyon adı verilir. Fx, y’yi sabit tutup x’e göre türev alınarak elde edilen fonksiyon; Fy ise, x’i sabit tutup y’ye göre türevalınarak elde edilen fonksiyon olmak üzere; y’nin x’e göre türevi aşağıdaki formül yardımıyla bulunabilir:


PARAMETRİK FORMDAKİ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

f(x) fonksiyonunda x, t gibi bir parametreye bağlıysa f’ye parametrik formda fonksiyon veyaparametrik fonksiyon adı verilir. Bu durumda y = f(x) olmak üzere, y de t parametresine bağlı olur ve y’nin x’e göre türevi:


formülü ile elde edilir.

L’HOSPITAL KURALI

f ve g türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,


değeri, 0/0 veya ∞/∞ belirsizliğini veriyorsa,


eşitliği geçerlidir.

MAKSİMUM VE MİNİMUM

Bir fonksiyonun bir aralıkta türevinin pozitif olması, o fonksiyonun o aralıkta artan olması ile eşdeğerdir. Aynı şekilde; bir fonksiyonun bir aralıkta türevinin negatif olması, o fonksiyonun o aralıkta azalan olması ile eşdeğerdir. Benzer biçimde bir fonksiyonun türevinin bir aralıkta sıfır olması, fonksiyonun o aralıkta sabit olması ile eşdeğerdir.

KRİTİK NOKTA

Bir fonksiyonun bir noktada türevi sıfır ise o noktaya kritik nokta adı verilir.

YEREL EKSTREMUM

Bir fonksiyonun kritik bir noktasında, fonksiyonun türevi işaret değiştiriyorsa, bu kritik noktayayerel ekstremum, bağıl ekstremum veya lokal ekstremum adı verilir. Ayrıca fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın uç noktasında, varsa, değerine de yerel ekstremum denir.

YEREL MAKSİMUM

Bir fonksiyonun bir yerel ekstremum noktasında fonksiyonun türevi pozitiften negatife değişiyorsa, bu noktaya yerel maksimum, bağıl maksimum veya lokal maksimum adı verilir. Daha formal bir ifadeyle: x0 noktasındaki türevi sıfır olan bir f fonksiyonunda, varsa x0‘dan küçük değerler için türevi pozitif, varsa x0‘dan büyük değerler için türevi negatif olan bir aralık mevcutsa; x0 noktasına f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktası denir.

YEREL MİNİMUM

Bir fonksiyonun bir yerel ekstremum noktasında fonksiyonun türevi negatiften pozitife değişiyorsa, bu noktaya yerel minimum, bağıl minimum veya lokal minimum adı verilir. Daha formal bir ifadeyle: x0 noktasındaki türevi sıfır olan bir f fonksiyonunda, varsa x0‘dan küçük değerler içintürevi negatif, varsa x0‘dan büyük değerler için türevi pozitif olan bir aralık mevcutsa; x0 noktasına f fonksiyonunun bir yerel minimum noktası denir.

MUTLAK MAKSİMUM

Bir fonksiyonun bütün yerel maksimum noktalarının en büyüğüne mutlak maksimum noktası denir.

MUTLAK MİNİMUM

Bir fonksiyonun bütün yerel minimum noktalarının en küçüğüne mutlak minimum noktası denir.

MUTLAK EKSTREMUM

Mutlak maksimum ve mutlak minimum noktalarına mutlak ekstremum noktası adı verilir.

İKİNCİ TÜREV

İkinci türev sürekli bir fonksiyonun konveksliğini veya konkavlığını tespit etmekte kullanılır.

KONVEKS FONKSİYON

f tanımlı olduğu aralıkta sürekli ve iki kez türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonunun ikinci türevi tanımlı olduğu aralıktaki her değer için negatif değilse, f fonksiyonunakonveks fonksiyon denir.

KONKAV FONKSİYON

f tanımlı olduğu aralıkta sürekli ve iki kez türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonunun ikinci türevi tanımlı olduğu aralıktaki her değer için pozitif değilse, f fonksiyonunakonkav fonksiyon denir.

DÖNÜM NOKTASI

Bir fonksiyonun ikinci türevi bir noktada işaret değişiyorsa, bu noktaya dönüm noktası veyabüküm noktası adı verilir. Daha formal bir ifadeyle: x0 noktasındaki ikinci türevi sıfır olan bir f fonksiyonunda, varsa x0‘dan küçük değerler için ikinci türevi negatif, varsa x0‘dan büyük değerler içinikinci türevi pozitif olan bir aralık mevcutsa; veya, varsa x0‘dan küçük değerler için ikinci türevi pozitif, varsa x0‘dan büyük değerler için ikinci türevi negatif olan bir aralık mevcutsa; x0 noktasına f fonksiyonunun bir dönüm noktası denir.

ASİMPTOT

Bir eğrinin herhangi bir kolu sonsuza giderken, aralarındaki uzaklığın sıfıra yakınsadığı ve eğrinin kolunu kesmeyen doğruya veya eğriye asimptot adı verilir.

DÜŞEY ASİMPTOT

Denklemi, a sabit bir reel sayı olmak üzere, x = a şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, a bir reel sayı olmak üzere, eğer;


veya,


ise, f eğrisinin düşey asimptotu vardır ve bu asimptot x = a’dır.

YATAY ASİMPTOT

Denklemi, c sabit bir reel sayı olmak üzere, y = c şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, c bir reel sayı olmak üzere, eğer;


ise, f eğrisinin yatay asimptotu vardır ve bu asimptot y = c’dir.

EĞİK ASİMPTOT

Denklemi, m ve n sabit birer reel sayı olmak üzere, y = mx+n şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, m ve n birer reel sayı olmak üzere, eğer;


ise, f eğrisinin eğik asimptotu vardır ve bu asimptot y = mx+n’dir.

EĞRİ ASİMPTOT

Denklemi bir eğri olan asimptotlara eğri asimptot denir.

f ve g birer eğri olmak üzere, eğer;


ise, f eğrisinin eğri asimptotu vardır ve bu asimptot g eğrisidir.

1430 kez okundu