Logaritmada Taban Değiştirme

Teorem: \(a \ne 1,c \ne 1;{\text{ }}a,b,c \in {R^ + }\) olmak üzere

\({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\) dir.

\({\log _a}b = x{\text{ }}\) ve \({\text{lo}}{{\text{g}}_c}{\text{a}} = {\text{y}}\) olsun. Logaritmanın tanımından,

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b}} = {\text{x}} \Leftrightarrow {\text{b}} = {{\text{a}}^{\text{x}}}{\text{ }}\) (I)

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{c}} = {\text{y }} \Leftrightarrow {\text{ a}} = {{\text{c}}^{\text{y}}}\) (II)

(I) Eşitliğinde, a yerine (II) eşitliğindeki değerini yazalım.

\({\text{b}} = {{\text{a}}^{\text{x}}}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ b}} = {{\text{(}}{{\text{c}}^{\text{y}}}{\text{)}}^{\text{x}}}{\text{ }} = {{\text{c}}^{{\text{yx}}}}\) olur.

\({\text{b}} = {\text{ }}{{\text{c}}^{{\text{yx}}}}{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b}} = {\text{yx}}\) (III) logaritmanın tanımından

\({\text{y}} = {\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{a ve x}} = {\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b}}\) değerini, (III) eşitliğinde yerine yazarsak;

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{b}} = {\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{a }}{\text{. lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b }}\) bulunur. Buradan

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{b }} = \frac{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{b}}}}{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{a}}}}\)

olur.

TABAN DEĞİŞTİRME ÖZELLİĞİNİN SONUÇLARI

TEOREM:

\(a \ne 1,b \ne 1,c \ne 1{\text{ }}ve{\text{ }}a,b,c,d \in {R^ + }{\text{ }} \Rightarrow {\log _a}b{\log _b}c{\log _c}d = {\log _a}d{\text{ }}\) dir.

İspat: Eşitliğin birinci tarafındaki logaritmik ifadelerin tabanlarını, 10 olarak değiştirelim:

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b }}{\text{. lo}}{{\text{g}}_{\text{b}}}{\text{c }}{\text{. lo}}{{\text{g}}_{\text{c}}}{\text{d }} = {\text{ }}\frac{{{\text{lgb}}}}{{{\text{lga}}}}{\text{ }}{\text{. }}\frac{{\lg c}}{{\lg b}}{\text{ }}{\text{. }}\frac{{{\text{lgd}}}}{{{\text{lgc}}}} = {\text{ }}\frac{{{\text{lgd}}}}{{{\text{lgc}}}}{\text{lgd}}\)

TEOREM:

\(a,b \in {R^ + } – \{ 1\} \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

İspat: logab ifadesinin tabanını, b olarak değiştirelim:

\({\text{logab }} = {\text{ }}\frac{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{b}}}{\text{b}}}}{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{b}}}{\text{a}}}} = {\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{b}}}{\text{a}}}}{\text{ }}\)

bulunur. Ayrıca,

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b }} = \frac{{\text{1}}}{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{b}}}{\text{a}}}}\)

\({\text{ lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{\text{b }}{\text{. lo}}{{\text{g}}_{\text{b}}}{\text{a }} = {\text{1}}\)

TEOREM:

\(a,b \in {R^ + } – \{ 1\} {\text{ }}b \in {R^ + }ve{\text{ }}m,n \in R{\text{ }}m \ne 0\)
olmak üzere,

\({\log _{{a^m}}}{b^n} = \frac{n}{m}{\log _a}b\)

İspat:

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{{{\text{a}}_{\text{m}}}}}{{\text{b}}^{\text{n}}}{\text{ }}\) ifadesinin tabanını a olarak değiştirelim.

\({\text{lo}}{{\text{g}}_{{{\text{a}}_{\text{m}}}}}{{\text{b}}^{\text{n}}}{\text{ }} = {\text{ }}\frac{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{{\text{b}}^{\text{n}}}}}{{{\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{a}}}{{\text{a}}^{\text{m}}}}} = \frac{{n.{{\log }_a}b}}{{m.{{\log }_a}a}} = \frac{n}{m}{\log _a}b\) bulunur.

TEOREM

\(a \in {R^ + } – \{ 1\} {\text{ }}{\text{,b}} \in {{\text{R}}^ + }{\text{ }} \Rightarrow {{\text{a}}^{{{\log }_a}b}} = b\)

İspat:

\[{a^{{{\log }_a}b}}{\text{ }} = {\text{ x}}\] olsun.

Eşitliğin her iki yanının a tabanına göre logaritmasını alalım :

\({\log _a}{a^{{{\log }_a}b}} = {\log _a}x \Rightarrow {\log _a}b.{\log _a}a = {\log _a}x\)

\(\Rightarrow {\log _a}b = {\log _a}x \Rightarrow b = x\) olur.

\(x = b\) yerine yazılırsa, \({a^{{{\log }_a}b}}{\text{ }} = {\text{ b }}\) bulunur.

6374 kez okundu