Mutlak Değer

A. TANIM
Bir reel sayının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının
mutlak değeri denir.

Bir x reel sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.

mutlak1

x > 0 ise x in başlangıç noktasına uzaklığı x birim olur. Buna göre, |x| = x olur. … (1)

x < 0 ise, x in başlangıç noktasına uzaklığı -x birim olur. Buna göre, |x| = -x olur. … (2)

0 ın başlangıç noktasına uzaklığı 0 birimdir. Buna göre, |0| =0 olur …. (3)

Örnek:

|1| = 1
|-1|=-(-1)= 1

Örnek:

a, b reel (gerçel) sayılardır.
|a-8| + |a+b-4| =0 olduğuna göre, b kaçtır?

Çözüm:

Her reel (gerçel) a sayısı için,
|a| ≥ 0 …(*) olduğuna göre;

|a| +|b|= 0 ise a = 0 ve b = 0 dır….(**)

|a-8| +|a+b-4| = o ise,
(a – 8 = 0 ve a + b – 4 = 0) dır.
a – 8 = 0 ise a = 8 dir.
(a = 8 ve a + b – 4 = 0) ise 8 + b – 4 = 0
b= -4 tür.
Buna göre, a = 8 ve b = -4 olur.

Sonuç:

a ve b reel (gerçel) sayı olmak üzere, |a| + |b| = 0 ise (a = 0 ve b = 0) dır.

MUTLAK DEĞERiN ÖZELLİKLERİ

1. Bütün reel (gerçel) sayılar için, |x|= |-x| tir.

2. Bütün x, y reel (gerçel) sayıları için, |x|.|y| = |x.y| dir.

3. x reel (gerçel) sayı olmak koşuluyla, |xn| = |x|n dir.

4. y≠0 olmak üzere, bütün x, y reel (gerçel) sayıları için,

\(\frac{{\left| x \right|}}{{\left| y \right|}} = \left| {\frac{x}{y}} \right|\) dir.

5. Bütün x, y reel (gerçel) sayıları için, |x+y| ≤ |x|+|y| dir.

MUTLAK DEĞERLi EŞİTSiZLİKLER
Mutlak değerli denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü, mutlak değerin tanımından hareket edilerek yapılabilir. Ancak, en son verilen kural, mutlak değerli denklemlerin çözümünde kolaylık sağladığı gibi, aşağıdaki kural da mutlak değerli eşitsizliklerin çözümünde kolaylık sağlar.

1. a > o olmak üzere, |x| < a ise -a < x < a dır.

2. a > 0 olmak üzere, |x| > a ise (x < -a veya x > a) dır.

Örnek:

|2x+5|<11 koşuluna uygun olan x reel (gerçel) sayılarının kümesi (aralığı) bulunuz.

Çözüm:

|2x+5|< 11 ise -11 < 2 x + 5 < 11
-16<2x<6
-8 < x < 3 olur.
Buna göre, |2x+5| < 11 eşitsizliğini sağlayan x in aralığı (-8, 3) olur.

Örnek:

|x+1| < |x-4| eşitsizliğini sağlayan en büyük iki tam sayının toplamı kaçtır?

Çözüm:

Eşitsizliğinin iki tarafı da mutlak değerli olduğu için, pozitiftirler. Bunun için iki tarafın karesi alınırsa eşitsizlik yön değiştirmez.

|x+1| < |x-4|
|x+1|2 <|x-4|2
(x+1)2 <(x-4)2

x2+2x+1<x2-8x+16

10x<15 ise x<3/2

olduğuna göre, x in alabileceği en büyük iki tam sayı değeri: 1 ve 0 dır.

Bu iki değerin toplamı: 1 +o= 1 olur.

13329 kez okundu

Mutlak Değer Hakkında Yorumlar

Yorum Yaz

  1. berat tobun dedi ki:

    ”tessekur ederim çok iyi çok beğendim proje odevim için çok iyi”:):):) 🙂 :):):)