Köklü Sayılar

Tanım: n ≥ 2 doğal sayı olmak üzere,

\({a^n} = b \Rightarrow a = \sqrt[n]{b}\)

denklemini sağlayana reel sayısına, b reel sayısının, n. dereceden kökü denir. Tüm köklü sayılar, üslü sayılar biçiminde yazılabilir.

\(a = \sqrt[n]{{{b^1}}} \Rightarrow a = {b^{\frac{1}{n}}}\)

Buna göre;

\(a = \sqrt[n]{{{b^m}}} \Rightarrow a = {b^{\frac{m}{n}}}\)

Not:

\(\sqrt[n]{b}\) ifadesinde;

n=2 ise \(\sqrt[2]{a} = \sqrt a \) ifadesine karekök denir.

n=3 ise \(\sqrt[3]{a}\) ifadesine küpkök denir.

Köklü Sayıların Özellikleri
* Köklü sayılar, üslü sayıların bütün özelliklerini taşır.
* Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için;
i) Köklerin dereceleri eşit
ii) Köklerin içindeki ifadelerinin eşit ve benzer olması gerekli ve yeterli şarttır. Köklü ifadeler bu özelliklere sahip değilse toplama ve çıkarma işlemi yapılamaz.

\(a\sqrt[m]{b} \mp c\sqrt[m]{b} = (a \mp c)\sqrt[m]{b}\)

Not:

\(\sqrt[m]{{{a^n}}}\) köklü ifadesinde m=2 ise yazılmaz ve 2 varmış gibi işlem yapılır.

Not:

\(\begin{gathered}
\sqrt {a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b \hfill \\
\sqrt {a – b} \ne \sqrt a – \sqrt b \hfill \\
\end{gathered} \)

Köklü sayılarda çarpma ve bölme işlemleri yapılabilmesi için kök derecelerinin eşit olması yeterlidir.

kok1

Rasyonel Üssün Sadeleştirilmesi – Genişletilmesi

kok2

Not:

* \(\sqrt[m]{a}\) ifadesinde m çift sayı ise a ≥ 0 olmalıdır.

* Karekökün reel sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

\(\sqrt a \) ise, a≥0 da tanımlıdır.

Kök içindeki çarpanı Kök Dışına Çıkarmak
a) Kök derecesi 2 ise; kök içindeki ifadenin tam kare olan çarpanları dikkate alınır. Bunun için verilen sayı, asal çarpanlara ayrılır. Aynı olan asal çarpanlar ikişerli olarak gruplandırılırlar.

kok3

b) Kök derecesi 3 ise; kök içindeki ifadenin tam küp olan çarpanları dikkate alınır, verilen sayı asal çarpanlara ayrılır. Aynı olan asal çarpanlar üçerli gruplandırılır.

kok4

c) Kök derecesi n ise; verilen sayı asal çarpanlara ayrılır. Aynı olan asal çarpanlardan kuvvetleri (n) olanlar dikkate alınır.

kok5

kok6

Kök Dışındaki Çarpanı Kök içine Almak

\(a\sqrt[a]{b} = \sqrt[n]{{{a^n}b}}\)

Kök dışındaki çarpanın üssü kök kuvveti ile çarpılarak içeri alınır.

kok7

Eşlenik ifadeler
Köklü sayıların bölme işleminde paydayı kökten kurtarmak için paydanın eşleniği ile kesir çarpılır.

kok8

Örnek:

\(\frac{7}{{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{3}}}\) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
Bu tip ifadelerin paydalarını kökten kurtarmak için, pay ve paydanın hangi ifade ile çarpılacağının bilinmesi, dolayısıyla aşağıdaki eşitliklerin göz önüne alınması gerekecektir.

kok9

kok10

Köklü Tam Kare ifadeler
x > y olmak üzere;

kok11

kok12

Not: Bu tür ifadede aradaki işaret negatif ise büyük çarpanın karekökünden küçük çarpanın karekökü çıkarılır.

Not:

\(\sqrt[m]{{{a^x}\sqrt[n]{{{a^y}\sqrt[p]{{{a^z}}}}}}} = \sqrt[{mnp}]{{{a^{(xn + y)p + z}}}}\)

kok13

Sonsuz Köklü İfadeler

kok14

 

a ardışık iki tamsayının çarpımı ise;

\(\sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + …} } }  = \) Büyük ardışık çarpan

\(\sqrt {a – \sqrt {a – \sqrt {a – …} } }  = \) Küçük ardışık çarpan

Bir Kökün Kuvveti

\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[m]{{{a^m}}}\)

Köklü ifadelerde Sıralama:
a) Kök dereceleri eşit olan ifadeler, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralanır.

kok15

 

b) Kök dereceleri farklı ise önce kök dereceleri eşitlenir, sonra yukarıdaki kurala göre hareket edilir.

40339 kez okundu