Gerçek Sayılar Kümesinde Aralık Kavramı

A. KAPALl ARALIK
a ile b reel sayılar ve a < b olsun, a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme
[a, b] veya a≤ x ≤ b, x ∈ R şeklinde gösterilir ve böyle aralıklara kapalı aralık denir .

aralik1

B. AÇIK ARALIK
a, b ∈ R ve a <b olsun. [a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.

aralik2

Yukarıdaki açık aralık, (a, b) biçiminde ya da x ∈ R olmak üzere, a < x < b biçiminde de gösterilir.

C. YARI AÇIK ARALIK
a, b ∈ R ve a <b olsun. [a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.
b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x ∈ R olmak üzere, a ≤ x < b yarı açık aralığı elde edilir.

aralik3

a noktası çıkarılırsa (a,b] veya x ∈ R olmak üzere, a < x ≤ b yarı açık aralığı elde edilir.

aralik4

ÖRNEK
x pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,
-5≤ 2x+1 < 9
eşitsizliğinin çözüm kümesi (aralığı) bulalım.

Çözüm

-5 ≤ 2x+1 < 9
-5-1 ≤ 2x + 1-1 < 9-1
-6 ≤ 2x < 8
-3 ≤ x < 4
Bu kümeyi (aralığı) [-3, 4) biçiminde de gösteririz.

ÖRNEK
-5<2X-7
2x+3 <9
koşullarına uygun olan x reel (gerçel) sayılarının kümesi (aralığı) bulalım.

Çözüm

-5 < 2x-7
-5+7<2X-7+7
2 < 2x
1<x … (1)

2x+3<9
2x+3-3<9-3
2x<6
x< 3 … (2)

(1) ve (2) koşulunun birlikte sağlandığı aralık istenen koşulları sağlar.
(1 < x ve x < 3) ise 1 < x < 3 olur. Bu kümeyi (aralığı) (1 , 3) biçiminde de gösteririz.

 

ÖRNEK

\(\frac{2}{3} < a < 2 < b < \frac{{14}}{3}\) olduğuna göre, b-a nın en geniş aralığı nedir?

Çözüm

\(\frac{2}{3} < a < 2 < b < \frac{{14}}{3}\) ise \(\frac{2}{3} < a < 2\) ve \(2 < b <\frac{{14}}{3}\) dir.

\(2 < b < \frac{{14}}{3}\)  (*)

\(\frac{2}{3} < a < 2\) ise hertarafı (-) ile çarpılırsa;

\( – 2 < – a < – \frac{2}{3}\) (**) olur.

(*) ve (**) denklemleri taraf tarafa toplanırsa;

(0 < b – a < 4) olur. Buna göre (b-a) nın en geniş aralığı (0,4) olur.

7957 kez okundu