Faktöriyel Kavramı ve Sayma Yöntemleri

FAKTÖRİYEL KAVRAMI

TANIM

n doğal sayı olsun.

  1. 0! = 1 ve 1! = 1 olmak üzere,
  2. n > 1 iken 1 . 2 . 3 ….. (n -1) . n = n!

biçiminde tanımlanan n! ifadesine n faktöriyel denir.

SONUÇ

Her n doğal sayısı için, (n + 1 )! = (n+1 ).n! dir.

Örnek:

Örnek:

114! ifadesi hesaplandığında elde edilen doğal sayının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Çözüm:

114! ifadesi asal çarpanlarına ayrılır ve önce 2 lerle 5 ler çarpılırsa 10 çarpanları bulunur ve her 10 için sayının sonuna bir tane sıfır gelir.

114 ü 5 ile bölersek 22 bulunur. Bu 22 sayısı, 5 in katlarının sayısıdır. 114 ü 25 ile bölersek 4 bulunur. Bu da 25 in katlarının sayısıdır.

Öyleyse 114! faktöriyelde 22 + 4 = 26 tane 5 çarpanı vardır. 2 çarpanlarının sayısı daha çoktur. Bu durumda

114! = x. 1026 biçimindedir. Yani, 26 tane sıfır vardır.

SONUÇ

n ≥ 5 iken n! in birler basamağı sıfırdır.

SAYMA YÖNTEMLERİ

Çarpma Yoluyla Sayma: Art arda yapılabilen r tane işten birinci iş n1 farklı biçimde, ikinci iş n2 farklı biçimde, üçüncü iş n3 farklı biçimde ve bunun gibi r inci iş nr farklı biçimde yapılabiliyorsa, bu işlerin hepsi birden;

n1 . n2 . n3 … nr

farklı biçimde yapılabilir.

Toplama Yoluyla Sayma: Yalnız birinden biri yapılabilen r tane işten birincisi n1 farklı biçimde, ikincisi n2 farklı biçimde, üçüncüsü n3 farklı biçimde ve bunun gibi r inci iş nr farklı biçimde yapılabiliyorsa, bu işlerin hepsi birden;

n1 + n2 + n3 + … + nr farklı biçimde yapılabilir.

Örnek:

Örnek

Bir çocuk önce, farklı 2 oyuncaktan birini, sonra farklı 3 şapkadan birini ve daha sonra da farklı 4 kalemden birini almak üzere bu üç nesneyi kaç farklı biçimde seçer?

Çözüm Oyuncak seçme işi n1 = 2 ayrı biçimde, sonra şapka seçme işi n2 = 3 farklı biçimde ve kalem seçme işi n3 = 4 farklı biçimde gerçekleşir. Buna göre hepsi birden n1 . n2. n3 = 24 farklı biçimde gerçekleşir.

365 kez okundu