Belirli İntegral

TANIM:

f:[a,b] ® R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun.

\(\mathop {\lim }\limits_{\left\| P \right\| \to 0} A(f,P) = \mathop {\lim }\limits_{\left\| P \right\| \to 0} \”U (f,P) = s\)

ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.

\(\int\limits_a^b {f(x).dx} = \,\,s\)

\(\left\| P \right\|\, \to \,0\) ne demektir?

[a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunluklarının SIFIRA yaklaşması demektir. Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dikdörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

P parçalanması, düzgün bir parçalanma olduğundan;

\(\left\| P \right\| \to 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,n\,\, \to \,\,\infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {f({t_k}).\,\Delta {x_k}} } \right)\,\, = \,\,\int\limits_a^b {f(x).dx} \)

ÖRNEK:

\(\int\limits_0^3 {{x^2}dx} \) belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:

[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;

\({\mathbf{k}} \in \left\{ {{\mathbf{0}},{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},….,{\mathbf{n}}} \right\}\) için,

\(\left\| P \right\| = \,\,\Delta {x_k}\, = \,\frac{{b – a}}{n} = \,\frac{{3 – 0}}{n}\,\, = \frac{3}{n}\)

\({t_k} = a + k.\Delta {x_k}\) olarak seçilirse;

\[{t_k} = 0 + k\,.\,\frac{3}{n}\,\, = \,\,\frac{{3k}}{n}\]

\[\int\limits_0^3 {{x^2}dx} = \,\,\mathop {\lim }\limits_{\left\| P \right\| \to \infty } \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {f(\frac{{3k}}{n}).\,\frac{3}{n}} } \right) = \]

\[\mathop {\lim }\limits_{\left\| P \right\| \to \infty } \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{9{k^2}}}{{{n^2}}}\, \cdot \,\frac{3}{n}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\left\| P \right\| \to \infty } \left( {\frac{{27}}{{{n^3}}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} } \right)\]

\[\mathop {\lim }\limits_{\left\| P \right\| \to 0} \left( {\frac{{27}}{{{n^3}}} \cdot \frac{{n.(n + 1).(2n + 1)}}{6}} \right)\,\, = \]

\[\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{27.(2{n^3} + 3{n^2} + n)}}{{6{n^3}}}} \right)\,\, = \]

\[\frac{{27.2}}{6}\,\, = \,\,9\]

\[\int\limits_0^3 {{x^2}dx\,\, = \,\,9} \]

 

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ

f: [a,b] ® R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] ® R fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve xÎ(a,b) için, F'(x)=f(x) ise,

\(\int\limits_a^b {f(x)dx = F(x)\,\,\left. {} \right|\mathop {}\limits_a^b } \, = \,F(b) – F(a)\,\) dır.

ÖRNEK:

\(\int\limits_1^2 {(3x + 4)dx} \) belirli integralini bulalım.

\[\int\limits_{}^{} {(3x + 4)dx = \,\,} \frac{{3{x^2}}}{2} + 4x + c\]

\[F(2) = \frac{{{{3.2}^2}}}{2} + 4.2 = 14\]

\[F(1) = \frac{{{{3.1}^2}}}{2} + 4.1 = \frac{{11}}{2}\]

\[\int\limits_1^2 {(3x + 4)dx} = F(2) – F(1) = 14 – \frac{{11}}{2} = \frac{{17}}{2}\]

577 kez okundu