Basit Eşitsizlikler

Eşitsizlik, eşit olmanın karşıtı (zıttı) dır. x ≠ y ise x ve y den birisi diğerinden küçüktür.
Eşitsizliğin Özellikleri:
x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,
1. a = b, a < b , a > b önermelerinden yalnız biri doğrudur.

2. Eşitsizliklerin geçişme özelliği vardır.
(x < a ve a < y) ⇒ x < y,
(x > a ve a > y) ⇒ x > y dir.

3. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
x < y ⇔ x±a < y±a,
x > y ⇔ x ± a > y ± a dır.

4.  a) Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.
x < y ⇔ x.a < y.a,   (a > 0)
x > y ⇔ x:a > y:a   (a > 0)

b) Bir eşitsizliğin her iki yanı aynı negatif sayıyla çarpılırsa veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
x < y ⇔ x. a > y.a,    (a < 0)
x >y ⇔ x: a < y:a      (a < 0)

5. a) x. y < 0 ise, x ile y ters işaretlidir.

b) x . y > 0 ise, x ile y aynı işaretlidir.

6. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilirler fakat çıkarılamaz, carpılamaz ve bölünemezler.

* a, b, c, d ∈ R olmak üzere, a < x < b ve c < y < d ise, x.y çarpımı; a.c , a.d , b.c , b.d çarpımlarının en küçüğünden büyük, en büyüğünden de küçüktür.

7. n pozitif bir tam sayı olmak üzere,
x < y ⇔ x2n-1 < y2n-1
0 < x < y ⇒ 0 < xn < yn
x < y < 0 ⇒ x2n > y2n > 0

8. a) 0 ile 1 arasındaki sayıların üssü büyüdükçe, sayının değeri küçülür.
0< x < 1 ⇒ 0 < … < xn < … <x< x < 1 < x-1 < x-2 < …
b ) n∈ Z+– { 1 } olmak üzere,
(- 1 < x < 0 veya x > 1) ise xn > x tir.

esitsiz1

c) n ∈ Z+ olmak üzere,
x < – 1 => x2n+1 < x < 0 < x2n
9.  x < y < z ⇔ (x < y ve y < z)

x > y > z ⇔ x > (y ve y > z) dir.

10. Aynı işaretli sayılar arasındaki sıralama ile bu sayıların çarpmaya göre tersleri arasındaki sıralama birbirinin zıttıdır.
x . y > 0 olmak üzere,

\(x < y \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{1}{y}\)

11. Ters işaretli sayılar arasındaki sıralama ile bu sayıların çarpmaya göre tersleri arasındaki sıralama birbirinin aynısıdır.
x . y < 0 olmak üzere,

\(x < y \Leftrightarrow \frac{1}{x} < \frac{1}{y}\)

esitsizlik2

2226 kez okundu