Bağıntı

BAĞINTI
Sıralı ikili : a ve b nesnelerinden sıra belirtilerek elde edilen (a,b) nesnesine sıralı ikili denir.
a ≠ b olmak üzere (a, b) ≠ (b, a) dır.
(a, b) sıralı ikilisinde a’ya 1. bileşen, b’ye 2. bileşen denir.

\(({a_1},{a_2},{a_3},…,{a_n})\) sıralı ikilisi n lidir.

Sıralı İkililerin Eşitliği:

\((a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a = c{\text{ }}{\text{, }}b = d\)

Kartezyen Çarpım
A ve B kümeleri için, birinci bileşeni A’dan ikinci bileşeni B’den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir.

\(AxB = \{ (x,y)|x \in A{\text{ ve }}y \in B\} \) dir.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri:

fonk1

fonk2

Kartezyen Çarpımın Şeması
A = {a, b}, B = {1, 2, 3} kümeleri için
A x B= {(a, 1 ), (a, 2), (a, 3), (b, 1 ), (b, 2), (b, 3)}
olur. A x B nin şeması

fonk3

fonk4

şeklinde çizilebilir. Birinci bileşen yatay eksenden ve ikinci bileşen dikey eksenden alınır.

Kartezyen Çarpımın Grafiği
Birbirini O noktasında dik kesen yatay sayı doğrusu (Ox ekseni) ile düşey sayı doğrusunun (Oy-ekseni) oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi denir. Ox ve Oy eksenlerinin belirttiği düzlemlere analitik düzlem denir. Ox eksenine apsisler ekseni Oy eksenine ordinatlar ekseni adı verilir. Ox ve Oy eksenlerinin kesim noktasına orijin veya başlangıç noktası adı verilir.

fonk5

A noktasının belirttiği (a, b) ikilisine A noktasının dik koordinatları veya kartezyen koordinatları denir. a sayısı A noktasının apsisi b sayısı da ordinatıdır. Başlangıç noktası (0, 0) dır. Bir bağıntının elemanlarının analitik düzlemdeki gösterimine bu bağıntının grafiği denir.

fonk6

Bağıntı:
A ve B boş olmayan iki küme olsun.
A x B nin her ß alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı, A x A nın her alt kümesine de A da bir bağıntı denir.
ß = {(x, y) | (x, y) ∈ A x B}
Eğer (x, y) ∈ ß ise, y elemanı, x elemanına ß ile bağlıdır denir. y ß x biçiminde yazılır. Buna göre y ß x⇔ (x, y) ∈ ß olacaktır.

Bağıntı Sayısı :

s(A) = n ve s(B) = m ise s(A x B) = n . m olduğundan A dan B ye bağıntı sayısı : 2n.m 

A dan A ya bağıntı sayısı = 2n2 dir.

Bir Bağıntının Tersi :
A’dan B’ye ß ={(x, y) | x ∈ A ve y ∈ B} bağıntısının tersi B’den A’ya
ß-1 = {(y, x) | (x, y) ∈ ß} bağıntısıdır. (x, y) ∈ ß ⇔ (y , x) ∈ ß-1
ß∈ (A x B) ⇔ ß-1 ∈ (B x A) dır.

fonk7

Bağıntının Özellikleri
ß,  A’da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özelliği:
∀ x ∈ A için (x, x) ∈ ß ise ß yansıyan bağıntıdır.

2. Simetri Özelliği:
∀ (x, y) ∈ ß için (y, x) ∈ ß ise ß bağıntısı simetriktir denir.

3. Ters Simetri Özelliği :
x ≠ y ve (x, y) ∈ ß iken (y, x) ∈ ß ise ß bağıntısı ters simetriktir.
(Birinci bileşeni ikinci bileşenine eşit olan ikililer bulunabilir).

4. Geçişme Özelliği:                                                                                                                                                              (x, (x,y) ∈ ß ve (y , z) ∈ ß iken (x, z) ∈ ß ise ß bağıntısı geçişkendir.

fonk8

Denklik Bağıntısı :
Bir A kümesinde tanımlı ß bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özellikleri varsa, ß bağıntısına denklik bağıntısı denir.

Örneğin,
A={0, 1, 2, 3, ….. , 15}
B = {(x, y) : x ile y nin farkı 5’e bölünür} bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu gösterelim:
1) ∀ x ∈ A için (x, x) ∈ ß olduğundan, ß bağıntısı yansıyandır. x – x = 0
0 sayısı 5 ile bölünür.
2) (x, y) ∈ ß ise (y, x) ∈ ß dır. O halde simetriktir. 2 – 7 = -5 sayısı 5 ile bölünür 7 – 2 = 5 sayısı da 5 ile bölünür.
3) (x, y) ∈ ß ve (y, z) ∈ ß ise (x, z) ∈ ß olduğundan, geçişmelidir.
(x, y) ∈ ß ve (y, z) ∈ ß ise (x – y) ve (y- z) 5 ile bölünür.
x – y = 5k ve y – z = 5m (k, m ∈ Z)
x – y + y -z = 5k + 5m
x – z = 5 (k + m) ((k + m) ∈ Z)
olduğundan (x – z) 5 ile bölünür. O halde (x, z) ∈ ß dır. Buna göre ß bir denklik bağıntısıdır.

Sıralama Bağıntısı
Bir A kümesinde tanımlı ß bağıntısının yansıma, ters simetri, geçişme özellikleri varsa ß bağıntısına sıralama bağıntısı denir.

Örneğin,
A={0, 1, 2, 3, …… 15}
B = {(x, y) : x ≤ y} bağıntısının sıralama bağıntısı olduğunu gösterelim:
1) ∀ x ∈ A için (x, x) ∈ ß olduğundan ß bağıntısı yansıyandır.
x ≤ x olduğundan (x, x) ∈ ß)
2) x ≠ y iken x ≤ y ise y ≤ x olamaz.

Yani (x. y) ∈ ß ise (y, x) ∉ ß dır.
Ters simetri özelliği vardır.
3) x ≤ y ve y ≤ z ⇒ x ≤ z olduğundan geçişme özelliği vardır. O halde ß bağıntısı sıralama bağıntısıdır.

Denklik Sınıfları
ß, A da bir denklik bağıntısı olsun. Herhangi bir x ∈ A ya ß bağıntısı ile bağlı olan A nın tüm y elemanlarının kümesine x in denklik sınıfı denir. ve \(\overline x \) ile gösterilir.
\(\overline x  = \{ y|(x,y) \in \beta \} \)

x ile y nin denkliği \(x \equiv y\) (Mod ß) biçiminde gösterilir.

Özellikleri
1) Birbirine denk olan iki elemanın denklik sınıfları aynıdır.
2) Birbirine denk olmayan iki elemanın denklik sınıflarının kesişimi boş kümedir.
3) Denklik sınıflarının birleşimi A kümesini verir.

Örneğin,
Z de ß = {(x, y) : x ile y nin farkı 3’e bölünür} bağıntısı denklik bağıntısı olduğuna göre denklik sınıflarını yazalım:
0={ … , -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, … }
1 = { … , –8, -5, – 2, 1, 4, 7, 10, … }
2 = { … -7, -4, -1, 2, 5, 8, … }

768 kez okundu