Açıortay Teoremi

AÇIORTAY: Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışına açıortay denir.

 

 

 

 

 

 

 

 

Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu noktada üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

 

 

 

 

 

 

 

 

Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta (P) dan açının kenarlarına çizilen dik uzaklıklar birbirine eşittir. Yani

|PA| = |PC| dir. (açıortay doğrusu simetri ekseni olduğundan)

 

 

 

 

 

 

|PA| = |PC|

|BA| = |BC| ve

m(APB) = m (PBC)

A(BAP) = A(BPC) dir.

 

İÇ AÇIORTAY TEOREMİ

|AN|² = b.c – m.n

DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ

ABC üçgeninde

[AN], BAC nin dış açıortayı olmak üzere

\[\frac{{\left| {AC} \right|}}{{\left| {AB} \right|}} = \frac{{\left| {NC} \right|}}{{\left| {NB} \right|}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{x}{{x + y}}\]

bağıntısı vardır.

|AN| ise; |AN|² = x(x+y) – b.c formülüyle bulunur.

Örnek:

 

 

 

 

 

ABC bir dik üçgen,

\(\left[ {AB} \right] \bot \left[ {AC} \right]\)

[BD] iç açıortay

IADI =3 cm

IBCI = 8cm

Verilenlere göre A(BDC) = ?

Çözüm:

[BD, açıortay olduğundan D noktasından çizilen dik uzaklıklar eşittir.

Yani |AD| = |DH| = 3cm olur. Dolayısıyla A(DBC) = 8×3 / 2 = 12cm²

Örnek:

ABC bir diküçgen

\(\left[ {AB} \right] \bot \left[ {AC} \right]\)

[CD] iç açı ortay

|BC| = |AC| + 2

|AD| =4 cm

|BD| = x

Verilenlere göre x=?

Çözüm:

[CD açıortay olduğundan D noktasından [BC] ye çizilen dikme [AD] ye eşit olur.

|DH| = |AD| = 4cm olur.

Açıortay doğrusu simetrik olduğundan IACI = IHCI = a dersek, IBCI = a+ 2 olacağından IBHI = 2cm olur.

DBH diküçgeninde pisagor bağıntısından

x² = 4² + 2² , x = 2√5

Örnek:

ABC bir üçgen [AN] iç açıortay

|AB| = 8cm

|BC| = 9cm

|AC| 10cm

|AN| = ?

Çözüm:

ABC üçgeninde

|NC| = x dersek

|BN| = 9-x olur.

\(\frac{8}{{9 – x}} = \frac{{10}}{x}\)

Buradan x = 5cm bulunur.

İç açıortay teoreminden;

IANI² = 8.10 – 4.5

IANI² = 60

IANI = 2√15

Örnek:

ABC bir diküçgen

[AN] iç açı ortay

|BN| = 2cm

|NC| = 3cm

Verilenlere göre |AC| = ?

Çözüm:

İç açıortay teoreminden

\(\frac{{\left| {AB} \right|}}{{\left| {AC} \right|}} = \frac{2}{3}\) olduğundan

|AB| = 2a , |AC| = 3a dersek

ABC üçgeninde pisagor bağıntısından

|AC|² = |AB|² + |BC|²

(3a)² = (2a)² + 5²

Buradan a = √5

O halde |AC| = 3a = 3√5

Örnek:

ABC üçgeninde

[AN] dış açıortay

|AC| = 2 cm

|AB| = 3 cm

|BC| = 4 cm

Verilenlere göre |AN| = ?

Çözüm:

\[\frac{{\left| {AC} \right|}}{{\left| {AB} \right|}} = \frac{{\left| {NC} \right|}}{{\left| {NB} \right|}} = \frac{2}{3} = \frac{x}{{x + 4}}{\text{ }} \Rightarrow x = 8{\text{ }}\]

Dış açıortay ise

|AN|² = x(x+4) – 2.3

|AN|² = 90

|AN| = 3√10

Örnek:

ABC bir üçgen

[AN] dış açıortay

A(ABC) = 9cm²

A(ACN) = 12cm²

|AC| = 4cm

|AB| = ?

Çözüm

Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir.

\(\frac{{A\left( {ABC} \right)}}{{A\left( {ACN} \right)}} = \frac{{\left| {BC} \right|}}{{\left| {CN} \right|}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\)

|BC| = 3a, |CN| = 4a dersek |BN|=7a

\(\frac{{A\left( {ABC} \right)}}{{A\left( {ACN} \right)}} = \frac{{\left| {AC} \right|}}{{\left| {AB} \right|}} = \frac{{\left| {NC} \right|}}{{\left| {NB} \right|}} \Rightarrow \frac{4}{x} = \frac{{4a}}{{7a}}\)

X=7cm

Örnek:

ABC bir diküçgen

[AD] iç açıortay

m(ACB) = 45º

|BD| = 2cm

|DC| = ?

Çözüm:

[AD] iç açıortay olduğundan D noktasından [AC] ye çizilen dikme [BD] ye eşit olur.

|BD| = |DH| = 2cm

DHC üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğundan

x = 2√2 cm bulunur.

Örnek:

ABD bir üçgen

[AC] iç açıortay

|AC| = |AD|

|CD| = 2 cm

|BC| = 3 cm

|AB| = ?

Çözüm:

ABC üçgeninde [AC] iç açıortay olduğundan

\(\frac{{\left| {AB} \right|}}{{\left| {AD} \right|}} = \frac{3}{2}\)

|AB| = 3a, |AD| = 2a dersek |AC| = |AD| = 2a olur.

İç açıortay formülünden;

(2a)² = 3a.2a – 3.2

4a² = 6a² – 6 => 2a² = 6

a = √3 olur.

IABI = 3a = 3√3 bulunur.

Örnek:

ABC bir üçgen

M(BAD) = B (DAC) = 15º

|AB| = 10 cm

|AC| = 15 cm

A(ABD) = ?

Çözüm:

[AD] iç açıortay olduğundan

\(\frac{{\left| {AB} \right|}}{{\left| {AC} \right|}} = \frac{{\left| {BD} \right|}}{{\left| {DC} \right|}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\)

|BD| = 2a, |DC| = 3a dersek

A(ABD) = 2S, A(ADC) = 3S,

A(ABC) = 5S olur.

A(ABC) = 1/2.10.15.sin30 => 5S = 1/2.10.15.0,5

5S = 75/2 cm² => S =15/2 cm²

A(ABD)=2S=2.15/2=15cm2

Örnek:

ABC bir üçgen

[AD] dış açıortay

\(\left[ {AC} \right] \bot \left[ {BD} \right]\)

|BC| = 9 cm

|AB| = 15 cm

|CD| = ?

Çözüm:

 

 

 

 

 

 

ABC diküçgeninde pisagor bağıntasından

|AC|² + |BC|² = |AB|²

|AC|² + 9² = 15²

|AC|² = 144

|AC| = 12 cm bulunur.

Dış açıortay teoreminden;

\(\frac{{\left| {AC} \right|}}{{\left| {AB} \right|}} = \frac{{\left| {DC} \right|}}{{\left| {DB} \right|}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{x}{{x + 9}}\)

X=36 bulunur.

78645 kez okundu

Açıortay Teoremi Hakkında Yorumlar

Yorum Yaz

  1. gizli dedi ki:

    Cok guzel bir site gercekten isime yaradi tesekkurler

  2. Eksik amk dedi ki:

    Dış açıyorlar teoremi formülü yok