2. Dereceden Denklemler

2. DERECE DENKLEM TANIMI

a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve a = 0 olmak üzere;

a x2 + b x + c = 0

biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken;

Δ = b2 – 4ac

ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir.

Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim.

1. D > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır.

Bu kökler;

\({x_{1,2}} = \frac{{ – b \mp \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

2. D = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.

Bu kökler;

\({x_1} = {x_2} = – \frac{b}{{2a}}\)

3. Δ < 0 ise denklemin reel sayılarda
çözümü yoktur.

Örnek:

3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

a=3 , b= -10 , c=3 ve

Δ=b2-4ac eşitliğinden;

Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur.

Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;

\({x_{1,2}} = \frac{{ – b \mp \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{10 \mp \sqrt {64} }}{{2.3}} = \frac{{10 \mp 8}}{6}\)

2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER

Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir. Konuyu örneklerle izah edelim.

Örnek:

x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x2=u dönüşümü yapılırsa denklem,

u2-5u+4=0 haline dönüşür.

u2-5u+4=0 Þ (u-4)(u-1)=0


Þ u=4 ve u=1 olur.

Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından

x=± 2 ve x=± 1 bulunur.

Ç={-2,-1,1,2} ‘dir.

 

Örnek:

(x2-5x)2 -2 (x2-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x2-5x=u dönüşümü yapılırsa;

u2 -2u -24=0 olur ki;

Þ (u-6)(u+4)=0

Þ u=6 ve u=-4 bulunur.

Öyleyse;

x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından

x2-5x-6=0 Þ (x-6)(x+1)=0


Þ x=6 ve x=-1 olur.

x2-5x+4=0 Þ (x-4)(x-1)=0


Þ x=4 ve x=1 olur.

Ç={-1,1,4,6} ‘dir.

 

Örnek:

4m+2m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

2m=u dönüşümü yapılırsa denklem,

u2+u-6=0 haline dönüşür.

u2+u-6=0 Þ (u+3)(u-2)=0


Þ u=-3 ve u=2 olur.

Öyleyse; 2m=-3 Þ çözüm yoktur.

ve 2m=2 Þ m=1 olacağından

Ç={1} ‘dir.

2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere;

\(\begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a} \hfill \\
{x_1}\cdot{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\
\end{gathered} \)

Örnek:

x2 – 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını bulunuz.

Çözüm:

x1+x2= – b /a olduğundan

x1+x2= 6 bulunur.

 

Örnek:

-3x2 – 8x +1 = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz.

Çözüm:

x1.x2= c /a olduğundan

x1.x2= -1 /3 bulunur.

 

3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax3 + bx2 +cx +d = 0 üçüncü dereceden denkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere;

\(\begin{gathered}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = – \frac{b}{a} \hfill \\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = \frac{c}{a} \hfill \\
{x_1}.{x_2}.{x_3} = – \frac{d}{a} \hfill \\
\end{gathered} \)

KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU

ikinci dereceden bir denkleminin kökleri,

x1 ve x2 olmak üzere, denklem;


x2 – (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir.

Örnek:

Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz.

Çözüm:

x1+x2= (-2)+3=1

x1+x2= (-2).3=-6 bulunur.

x2 -(x1+x2)+x1.x2=0

x2 -(1)x+(-6)=0

x2 – x – 6 = 0 bulunur.

6276 kez okundu

2. Dereceden Denklemler Hakkında Yorumlar

Yorum Yaz

  1. hasan balcı dedi ki:

    a.x^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + dx^(n-3)+…+ex + f = 0 denkleminin x1,x2,x3,x4,….,x(n-2),x(n-1),xn kökleri arasındaki ilişkiler her zaman
    x1+x2+x3+…xn=((-1)^1)*b/a köklerin 1 li çarpımları toplamıdır
    x1*x2+x1*x3+…+x(n-1)*xn=((-1)^2)*c/a köklerin 2li çarpımları toplamıdır
    x1*x2*x3+ x1*x2*x4+…+x(n-2)*x(n-1)*xn=((-1)^3)*d/a 3lü çarpımlar toplamıdır ve
    x1*x2*x3*…*xn=((-1)^n)*f/a nli çarpımlar toplamıdır.

  2. hasan balcı dedi ki:

    x1 in indisi 1 ve x2 nin indisi 2 xn indisi n , x(n-1) in indisi n-1 olmak üzere ve x^n için x’in n.ci kuvveti kastedildi veya (-1)^n de -1 in n. ci kuvveti kastedildi. aynı şekilde (-1)^2 için (-1)in 2. ci kuvveti kastedildi. yani başkatsayı hemen 1 sonraki katsayıyı negatifli (-li) bölerek köklerin 1li çarpımsal toplamını . hemen 2 sonraki katsayıyı pozitifli (+li) bölerek köklerin 2li çarpımsal toplamını. hemen 3 sonraki katsayıyı negatifli (-li) bölerek köklerin 3lü çarpımsal toplamını veriyor. bu şekilde başkatsayı katsayıları bir negatif bir pozitif sırası ile bölerek köklerin k’lı (k 1 ile n arasında bir sayı) çarpımsal toplamlarını buluyor.

  3. hasan balcı dedi ki:

    eğer a.x^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + dx^(n-3)+…+ex + f = 0 denkleminin her iki tarafı a ile bölünürse x^n + (b/a)x^(n-1) + (c/a)x^(n-2) + (d/a)x^(n-3)+…+(e/a)x + f/a = 0 bulunur bu durumda baş katsayı 1 olup
    Hemen 1 sonraki katsayının ters işaretlisi köklerin 1’li çarpımsal toplamını verir.Hemen 2 sonraki katsayının aynı işaretlisi köklerin 2’li çarpımsal toplamını verir. Hemen 3 sonraki katsayının ters işaretlisi köklerin 3’lü çarpımsal toplamını verir. Bu şekilde devam eder. En nihayet köklerin n’li çarpımı yani tüm köklerin tek seferdeki çarpımı = en sondaki sabit sayı için çift dereceli denklemlerde aynı tek sayılı dereceli denklemlerde ters işaretlisine eşittir.

  4. hasan balcı dedi ki:

    eğer denklem x^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + dx^(n-3)+…+ex + f = 0 şeklinde ise, yani baş katsayı 1 ise Hemen 1 sonraki katsayının ters işaretlisi köklerin 1’li çarpımsal toplamını verir.Hemen 2 sonraki katsayının aynı işaretlisi köklerin 2’li çarpımsal toplamını verir. Hemen 3 sonraki katsayının ters işaretlisi köklerin 3’lü çarpımsal toplamını verir. Bu şekilde devam eder. köklerin k’lı (k 1 ile n arasında bir sayı) çarpımsal toplamlarını başkatsayı hariç k. ıncı sıraki katsayı verir katsayının, k çift ise aynı tek ise ters işaretlisi çarpımsal toplamları verir.En nihayet köklerin n’li çarpımı yani tüm köklerin tek seferdeki çarpımı = en sondaki sabit sayı için çift dereceli denklemlerde aynı tek sayılı dereceli denklemlerde ters işaretlisine eşittir.

  5. hasan balcı dedi ki:

    Eğer a.x^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + dx^(n-3)+…+ex + f = 0 denkleminin veya x^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + dx^(n-3)+…+ex + f = 0 denkleminin kökleri nelerdir derseniz. Ben köklerin arasındaki ilişkileri biliyorum ama kökleri genel olarak nasıl bulacağımı 2. dereceden sonra bilmiyorum. Bilen varsa banada yazsın mail atsın.

  6. hasan balcı dedi ki:

    yukarıda kökler arasındaki ilişkilerin durumunun ispatı size kalmış ispatlayıp düzgünce yazabilen varsa mail atsın bir göz atayım.

  7. hasan balcı dedi ki:

    Bütün köklerini bildiğiniz bir denklemi oluşturmak basit bir işlemdir. şöyleki,denklemin x1,x2,x3,x4,….,x(n-2),x(n-1),xn kökleri için kaç tane kök varsa denklemin derecesi o kadardır yani iki kök için, derece 2 dir üç kök içim derece 3 tür. aynı şekilde n tane kök için derece n dir. Denklemi oluşturmak için
    (X-x1)*(X-x2)*(X-x3)*…*(X-xn) ifadesi denklemi oluşturur. Yada

    köklerin 1 li çarpımları toplamı yani bütün kökler toplamı = k1
    köklerin bütün 2 li çarpımları toplamı = k2
    köklerin bütün 3 lü çarpımları toplamı = k3
    .
    .
    .
    bütün kökler çarpımı = kn için
    x^n – k1*x^(n-1) + k2*x^(n-2) -k3*x^(n-3)+…+(-1)^(n-1)*k(n-1)*x +(-1)^n*kn= 0 dir yani

    X^n-(köklerin 1 li çarpımları toplamı yani bütün kökler toplamı)*X^(n-1) + (köklerin bütün 2 li çarpımları toplamı)*X^(n-2)- (köklerin bütün 3 lü çarpımları toplamı)*X^(n-3)+….+((-1)^(n-1))*(köklerin n-1 li çarpımları toplamı)*X+(-1)^(n)(bütün kökler çarpımı) denklemi verir.